SISTEMI MULTIVARIABILI

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
AUTOMATICA (ING-INF/04)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenza e comprensione:

- Capire la rappresentazione a modelli di stato di un sistema lineare.
- Capire le tecniche usate per la soluzione dei sistemi dinamici lineari.
- Capire le problematiche legati alla raggiungibilità e all'osservabilità dei sistemi lineari.
- Capire gli elementi di base della teoria del controllo ottimo e del filtro di Kalman.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
- Rappresentare un sistema mediante modelli di stato.
- Calcolare evoluzione libera e forzata dei sistemi lineari.
- Decomporre un sistema nelle parti raggiungibili e non, osservabili e non.
- Progettare un regolatore basato su retroazione dello stato, sia mediante assegnazione degli autovalori sia mediante la minimizzazione di indici di costo quadratici.
- Progettare un osservatore asintotico dello stato, sia mediante assegnazione degli autovalori, sia usando lo stimatore ottimo di Kalman.

Prerequisiti

Fondamenti di controlli automatici.
Geometria.

Contenuti dell'insegnamento

1) Cenni di modellistica dei sistemi lineari.
2) Ripasso di algebra lineare.
3) Sistemi a tempo continuo.
4) Sistemi a tempo discreto.
5) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo discreto.
6) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo continuo.
7) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo discreto.
8) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo continuo.
9) Scomposizione di Kalman.
10) Stabilità.
11) Stabilizzazione con retroazione stato-ingresso.
12) Osservatori.
13) Controllo Ottimo.
13) Filtro di Kalman

Programma esteso

1) Cenni di modellistica dei sistemi lineari.

2)Ripasso di algebra lineare.
-Spazi vettoriali, sottospazi vettoriali, trasformazioni lineari, determinante, autovalori e autovettori.
-Autovalori e autovettori generalizzati, teorema di decomposizione primaria, teorema di Hamilton-Cayley.

3) Sistemi a tempo continuo.
-Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
-Esponenziale di matrice: definizione e calcolo.
-Modi di un sistema.
-Evoluzione totale.
-Risposta all'impulso e funzione di trasferimento.

4) Sistemi a tempo discreto.
-Matrice fondamentale del sistema e sue proprietà.
-Calcolo della potenza di matrice.
-Evoluzione totale.
-Risposta all'impulso e funzione di trasferimento.
-Campionamento dei sistemi a tempo continuo.

5) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di raggiungibilità.
-Proprietà.

6) Raggiungibilità e controllabilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di raggiungibilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente raggiungibili.
-Test PBH.

7) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo discreto.
-Definizioni.
-Matrice di osservabilità.
-Proprietà.

8) Osservabilità e riscostruibilità per i sistemi a tempo continuo.
-Definizioni.
-Gramiano di osservabilità.
-Proprietà.
-Forma standard per i sistemi non completamente osservabili.

9) Scomposizione di Kalman.

10) Stabilità.
-Stati di equilibrio.
-Stabilità semplice ed asintotica.
-Stabilità BIBO.

11) Stabilizzazione con retroazione stato-ingresso.
-Definizione di coppia stabilizzabile.
-Forma compagna e sue proprietà.
-Forma canonica di controllo.
-Formula di Ackermann.
-Assegnazione autovalori per i sistemi con più di un ingresso.
-Teorema di assegnazione dei poli.

12) Osservatori.
-Osservatore ad anello aperto.
-Osservatore di Luenberger.
-Definizione di coppia rilevabile.
-Sistema duale.
-Condizione per la rilevabilità.
-Principio di separazione.

13) Controllo Ottimo.
-Equazione di Riccati.
-Matrice Hamiltoniana.
-Condizione per l'esistenza della soluzione dell'equazione di Riccati.

13) Filtro di Kalman
-Richiami di teoria delle variabili casuali e dei processi stocastici.
-Evoluzione di sistemi lineari affetti da rumore bianco gaussiano.
-Equazione di Riccati per la sintesi dell'osservatore ottimo di Kalman.

Bibliografia

Testo di consultazione:

-A Linear Systems Primer, autore: Antsaklis, Michel, Editore: Birkhauser.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni svolte alla lavagna dal docente

Modalità verifica apprendimento

Esame scritto e orale. Nell'esame scritto lo studente dovrà risolvere quesiti di analisi di sistemi lineari e di progetto di regolatori e osservatori.
L'esame orale prevede domande di teoria sul programma svolto.
L'esame scritto può essere sostituito da due prove in itinere.
La valutazione finale è costituita per 2/3 dall'esame scritto e per 1/3 dalla prova orale.